Para cada polinomio $p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ definimos su derivada como esta y la mostramos por $p'(x)$ : \[p'(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+...+2a_2x+a_1\] a) Para cada dos polinomios $p(x)$ y $q(x)$ demuestre que:(3 puntos) \[(p(x)q(x))'=p'(x)q(x)+p(x)q'(x)\] b) Suponga que $p(x)$ es un polinomio con grado $n$ y $x_1,x_2,...,x_n$ son sus ceros. Demuestre que:(3 puntos) \frac{p'(x)}{p(x)}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x-x_i}\] c) $p(x)$ es un polinomio mónico con grado $n$ y $z_1,z_2,...,z_n$ son sus ceros tal que: \[|z_1|=1, \quad \forall i\in\{2,..,n\}:|z_i|\le1\] Demuestre que $p'(x)$ tiene al menos un cero en el disco con longitud uno con el centro $z_1$ en el plano complejo. (disco con longitud uno con el centro $z_1$ en el plano complejo: $D=\{z \in \mathbb C: |z-z_1|\le1\}$ )