Sea $ ABC$ un triángulo equilátero con longitud de lado igual a $ N \in \mathbb{N}.$ Considere el conjunto $ S$ de todos los puntos $ M$ dentro del triángulo $ ABC$ que satisfacen \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{N} \cdot \left(n \cdot \overrightarrow{AB} + m \cdot \overrightarrow{AC} \right)\] con $ m, n$ enteros, $ 0 \leq n \leq N,$ $ 0 \leq m \leq N$ y $ n + m \leq N.$ Cada punto de S está coloreado en uno de los tres colores azul, blanco, rojo, de tal manera que (i) ningún punto de $ S \cap [AB]$ está coloreado de azul (ii) ningún punto de $ S \cap [AC]$ está coloreado de blanco (iii) ningún punto de $ S \cap [BC]$ está coloreado de rojo Demuestre que existe un triángulo equilátero con las siguientes propiedades: (1) los tres vértices del triángulo son puntos de $ S$ y están coloreados de azul, blanco y rojo, respectivamente. (2) la longitud de los lados del triángulo es igual a 1. Variante: Mismo problema pero con un tetraedro regular y cuatro colores diferentes utilizados.