Sea $n \geq 2$ un entero positivo y, para todos los vectores con entradas enteras $$X=\begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_n\n\end{pmatrix}$$ sea $\delta(X) \geq 0$ el máximo común divisor de $x_1,x_2, \dots, x_n.$ Además, considera $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}).$ Prueba que las siguientes afirmaciones son equivalentes: $\textbf{i) }$ $|\det A | = 1$ $\textbf{ii) }$ $\delta(AX)=\delta(X),$ para todos los vectores $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{Z}).$