Denotemos por $\mathbb{S}$ el conjunto de todos los subconjuntos propios de $\mathbb{Z}_{>0}$ . Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{S} \mapsto \mathbb{Z}_{>0}$ que satisfacen lo siguiente: ___ 1. Para todos los conjuntos $A, B \in \mathbb{S}$ tenemos \[f(A \cap B) = \text{min}(f(A), f(B)).\] ___ 2. Para todos los enteros positivos $n$ tenemos \[\sum \limits_{X \subseteq [1, n]} f(X) = 2^{n+1}-1.\] (Aquí, por un subconjunto propio $X$ de $\mathbb{Z}_{>0}$ queremos decir $X \subset \mathbb{Z}_{>0}$ con $X \ne \mathbb{Z}_{>0}$ . Se permite que $X$ tenga tamaño infinito.)