Para un entero positivo $a$ , define una secuencia de enteros $x_1,x_2,\ldots$ definiendo $x_1=a$ y $x_{n+1}=2x_n+1$ para $n\geq 1$ . Sea $y_n=2^{x_n}-1$ . Determine el mayor valor posible de $k$ tal que, para algún entero positivo $a$ , los números $y_1,\ldots,y_k$ son todos primos.