¿La ley de la gravitación de Newton a partir de las leyes de Kepler? Los planetas en el sistema solar se mueven en órbitas elípticas con el sol en uno de los focos. La línea que une el sol y el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. El período de revolución ( $T$ ) y la longitud del semieje mayor $(a$ ) de la elipse se encuentran en la relación $T^2/a^3 = constante$ . Ahora responda las siguientes preguntas: \n* Partiendo de la ley de la gravitación de Newton y la primera ley de Kepler, derive la segunda y la tercera ley. Es posible derivar la primera ley, pero eso está fuera del alcance de este examen. Para su conveniencia, trabaje en el plano complejo (Argand) y tome el sol como el origen $(z=0)$ . \n* Muestre que los puntos en la elipse pueden representarse mediante, \n\[ z(\theta) = \frac{a(1-\epsilon^2)}{1+\epsilon\cos\theta}\exp(i\theta) = r(\theta) e^{i\theta}\] \ndonde $a$ es la longitud del semieje mayor, $\epsilon$ es la excentricidad de la elipse y $\theta$ se llama la \emph{anomalía verdadera} en la mecánica celeste. \n* Muestre que la segunda ley de Kepler conduce a, \n\[ \frac{1}{2}r^2 \dot{\theta} = constante\] \ndonde $r$ y $\theta$ se definen como en la parte (b) y un punto $(.)$ sobre una variable denota su derivada temporal. ¿Cuál es esta constante en términos de las otras variables del problema? \n* Usando los resultados de las partes (b) y (c) junto con la tercera ley de Kepler, obtenga la ley de la gravitación de Newton. \n* ¿Se puede llamar realmente al ejercicio anterior una 'derivación' de la ley de la gravitación de Newton? Declare sus razones.