3 S3 suponga $x=ky$ $$\left(ky+y+\frac{1}{y} \right) \left(k+\frac{1}{k}+2\right) \geq\frac{25\sqrt{15}}{9}$$ Por AM-CM sabemos que cuando $y=\frac{1}{\sqrt{k+1}},ky+y+\frac{1}{y} $ es máximo. Solo necesitamos demostrar que $$\left(\frac{k}{\sqrt{k+1} }+\frac{1}{\sqrt{k+1} }+\sqrt{k+1} \right) \left(k+\frac{1}{k}+2\right) \geq\frac{25\sqrt{15}}{9}$$ Luego solo necesitamos tomar la derivada; con $k=\frac{2}{3}$ , se alcanza el mínimo cuando $x=\frac{2}{\sqrt{15}},y=\frac{3}{\sqrt{15}}$ , $LHS=RHS$ P4 $a_1,a_2,\dots,a_{2022}\ge 0,a_1+a_2+\dots +a_{2022}=1$ halle el máximo valor de $\sum_{i=1}^{2022}\text{min}\{a_i,a_{i+1}\}\cdot \text{min}\{a_{i+1},a_{i+2}\}$ $a_{2023}=a_1,a_{2024}=a_2$ David-Vieta