Se dice que un conjunto $X$ es elegante si satisface todas las siguientes condiciones: El número de elementos de $X$ es $2022$ . Cada elemento de $X$ es un intervalo cerrado contenido en $[0, 1]$ . Para cualquier número real $r \in [0, 1]$ , el número de elementos de $X$ que contienen a $r$ es menor o igual que $1011$ . Para conjuntos elegantes $A, B$ , e intervalos $I \in A, J \in B$ , denotemos por $n(A, B)$ el número de pares $(I, J)$ tales que $I \cap J \neq \emptyset$ . Determine el valor máximo de $n(A, B)$ .