Sea $S_n$ la suma de los valores recíprocos de los dígitos distintos de cero de todos los enteros positivos hasta (e incluyendo) $n$. Por ejemplo, $S_{13} = \frac{1}{1}+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{5}+ \frac{1}{6}+ \frac{1}{7}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{9}+ \frac{1}{1}+ \frac{1}{1}+ \frac{1}{1}+ \frac{1}{1}+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{1}+ \frac{1}{3}$ . Encuentre el entero positivo más pequeño $k$ que haga que el número $k!\cdot S_{2016}$ sea un entero.