$n$ es un entero positivo dado, tal que es posible pesar la masa de cualquier producto que pese $1,2,3,\cdots ,ng$ con un contrapeso sin deslizamiento y $k$ contrapesos, que pesan $x_ig(i=1,2,\cdots ,k),$ respectivamente, donde $x_i\in \mathbb{N}^*$ para cualquier $i \in \{ 1,2,\cdots ,k\}$ y $x_1\leq x_2\leq\cdots \leq x_k.$ $(1)$ Sea $f(n)$ el menor número posible de $k$ . Encuentra $f(n)$ en términos de $n.$ $(2)$ Encuentra todos los números posibles de $n,$ tal que la secuencia $x_1,x_2,\cdots ,x_{f(n)}$ está determinada de manera única.