El triángulo $ABC$ tiene circunferencia circunscrita $\Omega$ y circuncentro $O$. Un círculo $\Gamma$ con centro $A$ interseca el segmento $BC$ en los puntos $D$ y $E$, de modo que $B$, $D$, $E$ y $C$ son todos diferentes y se encuentran en la línea $BC$ en este orden. Sean $F$ y $G$ los puntos de intersección de $\Gamma$ y $\Omega$, de modo que $A$, $F$, $B$, $C$ y $G$ se encuentran en $\Omega$ en este orden. Sea $K$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita del triángulo $BDF$ y el segmento $AB$. Sea $L$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita del triángulo $CGE$ y el segmento $CA$. Suponga que las líneas $FK$ y $GL$ son diferentes y se intersecan en el punto $X$. Demuestre que $X$ se encuentra en la línea $AO$.