El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en el círculo $\omega$. $F$ es el punto de intersección de $AC$ y $BD$. $BA$ y $CD$ se encuentran en $E$. Sean $G$ y $H$ las proyecciones de $F$ sobre $AB$ y $CD$, respectivamente. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BC$ y $EF$, respectivamente. Si la circunferencia circunscrita del $\triangle MNG$ solo se encuentra con el segmento $BF$ en $P$, y la circunferencia circunscrita del $\triangle MNH$ solo se encuentra con el segmento $CF$ en $Q$, demuestre que $PQ$ es paralelo a $BC$.