Para cada $m\in \mathbb N$ definimos $rad\ (m)=\prod p_i$ , donde $m=\prod p_i^{\alpha_i}$ . Conjetura abc Suponga que $\epsilon >0$ es un número arbitrario, entonces existe $K$ dependiendo de $\epsilon$ que para cada 3 números $a,b,c\in\mathbb Z$ tal que $gcd (a,b)=1$ y $a+b=c$ entonces: \[ max\{|a|,|b|,|c|\}\leq K(rad\ (abc))^{1+\epsilon} \] Ahora demuestre cada una de las siguientes afirmaciones utilizando la conjetura $abc$ : a) Último teorema de Fermat para $n>N$ donde $N$ es algún número natural. b) Llamamos a $n=\prod p_i^{\alpha_i}$ fuerte si y sólo si $\alpha_i\geq 2$ . c) Demuestre que hay finitamente muchos $n$ tales que $n,\ n+1,\ n+2$ son fuertes. d) Demuestre que hay finitamente muchos números racionales $\frac pq$ tales que: \[ \Big| \sqrt[3]{2}-\frac pq \Big|<\frac{2^ {1384}}{q^3} \]