Un conjunto $A$ está dotado de una operación binaria $*$ que satisface las siguientes cuatro condiciones: (1) Si $a, b, c$ son elementos de $A$, entonces $a * (b * c) = (a * b) * c$, (2) Si $a, b, c$ son elementos de $A$ tal que $a * c = b *c$, entonces $a = b$, (3) Existe un elemento $e$ de $A$ tal que $a * e = a$ para todo $a$ en $A$, y (4) Si a y b son elementos distintos de $A-\{e\}$, entonces $a^3 * b = b^3 * a^2$, donde $x^k = x * x^{k-1}$ para todos los enteros $k \ge 2$ y todos los $x$ en $A$. Determine la mayor cardinalidad que $A$ puede tener.