Sea $\alpha(n)$ el número de pares $(x, y)$ de enteros tales que $x+y = n, 0 \le y \le x$ , y sea $\beta(n)$ el número de triples $(x, y, z)$ tales que $ x + y + z = n$ y $0 \le z \le y \le x.$ Encuentra una relación simple entre $\alpha(n)$ y la parte entera del número $\frac{n+2}{2}$ y la relación entre $\beta(n), \beta(n -3)$ y $\alpha(n).$ Luego evalúa $\beta(n)$ como una función del residuo de $n$ módulo $6$ . ¿Qué se puede decir sobre $\beta(n)$ y $1+\frac{n(n+6)}{12}$ ? ¿Y qué sobre $\frac{(n+3)^2}{6}$ ? Encuentra el número de triples $(x, y, z)$ con la propiedad $x+ y+ z \le n, 0 \le z \le y \le x$ como una función del residuo de $n$ módulo $6.$ ¿Qué se puede decir sobre la relación entre este número y el número $\frac{(n+6)(2n^2+9n+12)}{72}$ ?