Dado un cuadrado $ABCD$, sean $P, Q, R$ y $S$ cuatro puntos variables en los lados $AB, BC, CD$ y $DA$, respectivamente. Determine las posiciones de los puntos $P, Q, R$ y $S$ para los cuales el cuadrilátero $PQRS$ es un paralelogramo, un rectángulo, un cuadrado o un trapecio.