Sea $ABCD$ un cuadrado con lado de longitud $100$. Se dibuja un círculo con centro $C$ y radio $CD$. Se dibuja otro círculo de radio $r$, que se encuentra dentro de $ABCD$, para que toque este círculo externamente y de modo que el círculo también toque $AB$ y $AD$. Si $r=m+n\sqrt{k}$, donde $m,n$ son enteros y $k$ es un número primo, halla el valor de $\frac{m+n}k$.