Los números $1$ a $4^{n}$ están escritos en una pizarra. En cada paso, Pedro borra dos números $a$ y $b$ de la pizarra, y escribe en su lugar el número $\frac{ab}{\sqrt{2a^2+2b^2}}$ . Pedro repite este procedimiento hasta que sólo queda un número. Demostrar que este número es menor que $\frac{1}{n}$ , no importa qué números Pedro eligió en cada paso.