La secuencia $f_1, f_2, \cdots, f_n, \cdots $ de funciones se define para $x > 0$ recursivamente por \[f_1(x)=x , \quad f_{n+1}(x) = f_n(x) \left(f_n(x) + \frac 1n \right)\] Demuestra que existe uno y solo un número positivo $a$ tal que $0 < f_n(a) < f_{n+1}(a) < 1$ para todos los enteros $n \geq 1.$