En un triángulo acutángulo $ABC$, sean $D$, $E$, $F$ los pies de las perpendiculares desde los puntos $A$, $B$, $C$ a las líneas $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente, y sean $P$, $Q$, $R$ los pies de las perpendiculares desde los puntos $A$, $B$, $C$ a las líneas $EF$, $FD$, $DE$, respectivamente. Demostrar que $p\left(ABC\right)p\left(PQR\right) \ge \left(p\left(DEF\right)\right)^{2}$, donde $p\left(T\right)$ denota el perímetro del triángulo $T$.