Tenemos $2022$ $1s$ escritos en una pizarra en una línea. Elegimos aleatoriamente una secuencia estrictamente creciente de ${1, 2, . . . , 2022}$ tal que el último término sea $2022$. Si la secuencia elegida es $a_1, a_2, ..., a_k$ ($k$ no es fijo), entonces en el $i^{th}$ paso, elegimos los primeros a $_i$ números en la línea y cambiamos los 1s a 0s y los 0s a 1s. Después de que terminan los $k$ pasos, calculamos la suma de los números en la pizarra, digamos $S$. El valor esperado de $S$ es $\frac{a}{b}$ donde $a, b$ son enteros positivos relativamente primos. Encuentra $a + b.$