4 Sea $S$ el conjunto de todas las raíces de la unidad, y sea $A$ un subconjunto de $S$ . Para todo $x \in S$ , defina: $$R_A(x) = \left|\{(a, b) \mid a, b \in A, \frac{a}{b} = x\}\right|$$ Demuestre que para toda función $f: S \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0}$ , existe un subconjunto $A' \subseteq A$ tal que: $$\frac{1}{|A'|^2} \sum_{a, b \in A'} f\left(\frac{a}{b}\right) \le 2 \cdot \frac{\sum_{x \in S} R_A(x)^{2025} \cdot f(x)}{\sum_{x \in S} R_A(x)^{2025}}$$ y $$|A'| \ge \frac{1}{2} \cdot \frac{\sum_{x \in S} R_A(x)^{2025}}{|A|^{2025}}.$$ Propuesto por Lize Jin, Escuela Secundaria Xuejun de Hangzhou