Sea $k>1$ un entero positivo y $n>2018$ un entero positivo impar. Los números racionales no nulos $x_1,x_2,\ldots,x_n$ no son todos iguales y: $$x_1+\frac{k}{x_2}=x_2+\frac{k}{x_3}=x_3+\frac{k}{x_4}=\ldots=x_{n-1}+\frac{k}{x_n}=x_n+\frac{k}{x_1}$$ Encuentra el valor mínimo de $k$, tal que las relaciones anteriores se cumplen.