Una secuencia de números $a_n, n = 1,2, \ldots,$ se define como sigue: $a_1 = \frac{1}{2}$ y para cada $n \geq 2$ \[ a_n = \frac{2 n - 3}{2 n} a_{n-1}. \] Demuestre que $\sum^n_{k=1} a_k < 1$ para todo $n \geq 1.$