Sea $u$ un número racional positivo y $m$ un entero positivo. Defina una sucesión $q_1,q_2,q_3,\dotsc$ tal que $q_1=u$ y para $n\geqslant 2$ : $$\text{si }q_{n-1}=\frac{a}{b}\text{ para algunos enteros positivos }a\text{ y }b\text{ relativamente primos, entonces }q_n=\frac{a+mb}{b+1}.$$ Determine todos los enteros positivos $m$ tales que la sucesión $q_1,q_2,q_3,\dotsc$ es eventualmente periódica para cualquier número racional positivo $u$ . Nota: Una sucesión $x_1,x_2,x_3,\dotsc $ es eventualmente periódica si existen enteros positivos $c$ y $t$ tales que $x_n=x_{n+t}$ para todo $n\geqslant c$ .