Dado un conjunto $A$ y una función $f: A\rightarrow A$ , denotamos por $f_{1}(A)=f(A)$ , $f_{2}(A)=f(f_{1}(A))$ , $f_{3}(A)=f(f_{2}(A))$ , y así sucesivamente, ( $f_{n}(A)=f(f_{n-1}(A))$ , donde la notación $f(B)$ significa el conjunto $\{ f(x) : x\in B\}$ de imágenes de puntos de $B$ ) . Denotamos también por $f_{\infty}(A)=f_{1}(A)\cap f_{2}(A)\cap \ldots = \bigcap_{n\geq 1}f_{n}(A)$ . a) Demuestre que si $A$ es finito, entonces $f(f_{\infty}(A))=f_{\infty}(A)$ . b) Determine si lo anterior es cierto para $A=\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ y la función \[f\big((m,n)\big)=\begin{cases}(m+1,n) & \mbox{si }n\geq m\geq 1 \\ (0,0) & \mbox{si }m>n \\ (0,n+1) & \mbox{si }n=0. \end{cases}\]