Encuentra todas las ternas ordenadas $ (x, y, z)$ de números reales tales que \[ 5 \left(x + \frac{1}{x} \right) = 12 \left(y + \frac{1}{y} \right) = 13 \left(z + \frac{1}{z} \right),\] y \[ xy + yz + zy = 1.\]