Sea $n$ un entero positivo , $a_1,a_2,\cdots,a_n\in\{0,1,\cdots,n\}$ . Para el entero $j$ $(1\le j\le n)$ ,define $b_j$ como el número de elementos en el conjunto $\{i|i\in\{1,\cdots,n\},a_i\ge j\}$ .Por ejemplo ：Cuando $n=3$ ,si $a_1=1,a_2=2,a_3=1$ ,entonces $b_1=3,b_2=1,b_3=0$ . $(1)$ Demuestre que $$\sum_{i=1}^{n}(i+a_i)^2\ge \sum_{i=1}^{n}(i+b_i)^2.$$ $(2)$ Demuestre que $$\sum_{i=1}^{n}(i+a_i)^k\ge \sum_{i=1}^{n}(i+b_i)^k,$$ para el entero $k\ge 3.$