Sea $a \in \mathbb{R}, 0 < a < 1,$ y $f$ una función continua en $[0, 1]$ que satisface $f(0) = 0, f(1) = 1,$ y \[ f \left( \frac{x+y}{2} \right) = (1-a) f(x) + a f(y) \quad \forall x,y \in [0,1] \text{ with } x \leq y.\] Determine $f \left( \frac{1}{7} \right).$