Decimos que un número es "tico" si la suma de sus dígitos es un múltiplo de $2003$. Demuestra que existe un número entero positivo $N$ tal que sus primeros $2003$ múltiplos, $N,2N,3N,\cdots, 2003N$, son todos ticos. ¿Existe un número entero positivo $N$ tal que todos sus múltiplos son ticos?