Sean $x_i \in \{0, 1\} (i = 1, 2, \cdots, n)$ . Si la función $f = f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ solo es igual a $0$ o $1$ , entonces defina $f$ como una 'función booleana de $n$ variables' y denote $$D_n (f) = \{ (x_1, x_2, \cdots, x_n) | f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = 0 \}$$. $(1)$ Determine el número de funciones booleanas de $n$ variables; $(2)$ Sea $g$ una función booleana de $10$ variables que satisface $$g(x_1, x_2, \cdots, x_{10}) \equiv 1 + x_1 + x_1 x_2 + x_1 x_2 x_3 + \cdots + x_1 x_2\cdots x_{10} \pmod{2}$$ Evalúe el tamaño del conjunto $D_{10} (g)$ y $\sum\limits_{(x_1, x_2, \cdots, x_{10}) \in D_{10} (g)} (x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_{10})$ .