Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. La recta que pasa por $I$, perpendicular a $AI$, interseca la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $P$ y $Q$. Resulta que existe un punto $T$ en el lado $BC$ tal que $AB + BT = AC + CT$ y $AT^2 = AB \cdot AC$. Determine todos los valores posibles de la razón $IP/IQ$.