Sea $ \alpha(n)$ el número de dígitos iguales a uno en la representación binaria de un entero positivo $ n.$ Demuestre que: \n(a) la desigualdad $ \alpha(n) (n^2 ) \leq \frac{1}{2} \alpha(n)(\alpha(n) + 1)$ se cumple; \n(b) la desigualdad anterior es una igualdad para infinitos enteros positivos, y \n(c) existe una secuencia $ (n_i )^{\infty}_1$ tal que $ \frac{\alpha ( n^2_i )}{\alpha (n_i }$ tiende a cero cuando $ i$ tiende a $ \infty.$ \nProblema alternativo: Demuestre que existe una secuencia una secuencia $ (n_i )^{\infty}_1$ tal que $ \frac{\alpha ( n^2_i )}{\alpha (n_i )}$ \n(d) $ \infty;$ \n(e) un número real arbitrario $ \gamma \in (0,1)$ ; \n(f) un número real arbitrario $ \gamma \geq 0$ ; cuando $ i$ tiende a $ \infty.$