Sea $\mathbb{Z}_{>0}$ el conjunto de los enteros positivos. Considere una función $f: \mathbb{Z}_{>0} \to \mathbb{Z}_{>0}$. Para cualquier $m, n \in \mathbb{Z}_{>0}$ escribimos $f^n(m) = \underbrace{f(f(\ldots f}_{n}(m)\ldots))$. Suponga que $f$ tiene las siguientes dos propiedades: (i) si $m, n \in \mathbb{Z}_{>0}$, entonces $\frac{f^n(m) - m}{n} \in \mathbb{Z}_{>0}$; (ii) El conjunto $\mathbb{Z}_{>0} \setminus \{f(n) \mid n\in \mathbb{Z}_{>0}\}$ es finito. Demuestre que la secuencia $f(1) - 1, f(2) - 2, f(3) - 3, \ldots$ es periódica.