Sea $n$ un entero positivo, $X = \{1, 2, \ldots , n\},$ y $k$ un entero positivo tal que $ \frac{n}{2} \leq k \leq n.$ Determine, con prueba, el número de todas las funciones $f : X \mapsto X$ que satisfacen las siguientes condiciones: (i) $f^2 = f;$ (ii) el número de elementos en la imagen de $f$ es $k;$ (iii) para cada $y$ en la imagen de $f,$ el número de todos los puntos $x \in X$ tales que $f(x)=y$ es a lo sumo $2.$