La función $f$ del conjunto $ \mathbb{N}$ de enteros positivos en sí mismo se define por la igualdad\n\[f(n)=\sum_{k=1}^{n} \gcd(k,n),\qquad n\in \mathbb{N}.\]\na) Demostrar que $f(mn)=f(m)f(n)$ para cada par de números primos relativos ${m,n\in\mathbb{N}}$ .\nb) Demostrar que para cada $a\in\mathbb{N}$ la ecuación $f(x)=ax$ tiene una solución.\nc) Encontrar todos los ${a\in\mathbb{N}}$ tales que la ecuación $f(x)=ax$ tiene una solución única.