Suponga que tal entero $n$ existe. Para cada $1\leq k\leq 9$, existe un entero $p_{k}$ tal que:\n$k.10^{p_{k}}\leq (n+k)! < (k+1).10^{p_{k}}$\nAl formar el cociente entre dos desigualdades sucesivas, encontramos que para cada $2\leq k \leq 9$,\n$10^{p_{k}-p_{k-1}}<n+k<\frac{k+1}{k-1}10^{p_{k}-p_{k-1}}$ (1)\nComo $\frac{k+1}{k-1}<10$ para cada $2\leq k \leq 9$, sabemos que $p_{k}-p_{k-1}$ es una constante (es decir, no depende de k). Asuma $p_{k}-p_{k-1}=l$. Simplemente use (1) con $k=9$, y encontrará:\n$%Error. 'foreach' is a bad command.\n1\leq k \leq 9, \ \ 10^{l}\leq n+k<1,25.10^{l}$ ( 2)\n(por cierto, esto prueba que si tal entero $n$ existe, tenemos $l\geq 2$ y $n+1\geq 100$)\nAhora, de $(n+1)n!=(n+1)!<2.10^{p_{1}}$ y $(n+4)^{4}n!>(n+4)!\geq 4.10^{p_{4}}$\nObtenemos $\frac{(n+4)^{4}}{n+1}>2.10^{p_{4}-p_{1}}=2.10^{3l}$\nsi $l\geq 3$, entonces $n+1\geq 1000$ (usando (2) )\nasí que $\frac{n+1}{n+4}\geq \frac{1000}{1003}$\nasí que:\n$(n+4)^{3}=\frac{(n+4)^{4}}{n+1}.\frac{n+1}{n+4}>\frac{1000}{1003}2.10^{3l}$\n$n+4>\left(2\frac{1000}{1003}\right)^{1/3}.10^{l}>1,25.10^{l}$\nlo cual contradice (2).\nDe lo contrario, $l=2$, y $\frac{(n+4)^{4}}{n+1}>2.10^{6}$\n$n+1\geq 100$ (usando (2) )\nasí que $\frac{n+1}{n+4}\geq \frac{100}{103}$\nasí que:\n$(n+4)^{3}=\frac{(n+4)^{4}}{n+1}.\frac{n+1}{n+4}>\frac{100}{103}2.10^{6}$\n$n+4>\left(2\frac{100}{103}\right)^{1/3}.10^{2}>123$\nasí que:\n$n+9>125$\nlo cual nuevamente contradice (2).