Sea $ \{a_n\}^{\infty}_1$ una secuencia de números reales tal que $ a_1 = 2,$ y $ a_{n+1} = a^2_n - a_n + 1, \forall n \in \mathbb{N}.$ Demostrar que $ 1 - \frac{1}{2003^{2003}} < \sum^{2003}_{i=1} \frac{1}{a_i} < 1.$