Un tablero sin fricción tiene la forma de un triángulo equilátero de $1$ metro de longitud lateral con paredes rebotantes a lo largo de los lados. Una pequeña bola súper rebotante se dispara desde el vértice $A$ hacia el lado $BC$. La bola rebota en las paredes del tablero nueve veces antes de golpear un vértice por primera vez. Los rebotes son tales que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. La distancia recorrida por la bola en metros es de la forma $\sqrt{N}$, donde $N$ es un entero. ¿Cuál es el valor de $N$ ?