Un conjunto de bolas contiene $ n$ bolas que están etiquetadas con los números $ 1,2,3,\ldots,n.$ Se nos dan $ k > 1$ de estos conjuntos. Queremos colorear las bolas con dos colores, negro y blanco de tal manera que (a) las bolas etiquetadas con el mismo número sean del mismo color, (b) cualquier subconjunto de $ k+1$ bolas con etiquetas (no necesariamente diferentes) $ a_{1},a_{2},\ldots,a_{k+1}$ satisfaciendo la condición $ a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}= a_{k+1}$ , contiene al menos una bola de cada color. Encuentra, dependiendo de $ k$ el mayor número posible $ n$ que admita tal coloración.