En un triángulo $ABC$, un punto $P$ en el interior de $ABC$ es tal que $$ \angle BPC - \angle BAC = \angle CPA - \angle CBA = \angle APB - \angle ACB.$$ Suponga $\angle BAC = 30^{\circ}$ y $AP = 12$. Sean $D,E,F$ los pies de las perpendiculares desde $P$ sobre $BC,CA,AB$ respectivamente. Si $m \sqrt{n}$ es el área del triángulo DEF donde $m,n$ son enteros con $n$ primo, entonces ¿cuál es el valor del producto $mn$?