Sea $Q$ un conjunto de números primos, no necesariamente finito. Para un entero positivo $n$ considera su factorización prima: define $p(n)$ como la suma de todos los exponentes y $q(n)$ como la suma de los exponentes correspondientes solo a los primos en $Q$ . Un entero positivo $n$ se llama especial si $p(n)+p(n+1)$ y $q(n)+q(n+1)$ son ambos enteros pares. Demuestra que existe una constante $c>0$ independiente del conjunto $Q$ tal que para cualquier entero positivo $N>100$ , el número de enteros especiales en $[1,N]$ es al menos $cN$ . (Por ejemplo, si $Q=\{3,7\}$ , entonces $p(42)=3$ , $q(42)=2$ , $p(63)=3$ , $q(63)=3$ , $p(2022)=3$ , $q(2022)=1$ . )