Los lados de un triángulo equilátero se dividen en n partes iguales por $n-1$ puntos en cada lado. A través de estos puntos se dibujan líneas paralelas a los lados del triángulo. Por lo tanto, el triángulo inicial se divide en $n^2$ triángulos equiláteros iguales. En cada vértice de dicho triángulo hay un escarabajo. Los escarabajos comienzan a gatear simultáneamente, con igual velocidad, a lo largo de los lados de los pequeños triángulos. Cuando llegan a un vértice, los escarabajos cambian la dirección de su movimiento en $60^{\circ}$ o en $120^{\circ}$ . a) Demostrar que, si $n \geq 7$ , los escarabajos pueden moverse indefinidamente por los lados de los pequeños triángulos sin que dos escarabajos se encuentren nunca en un vértice de un triángulo pequeño. b) Determinar todos los valores de $n \geq 1$ para los cuales los escarabajos pueden moverse a lo largo de los lados de los pequeños triángulos sin encontrarse en sus vértices.