Las diagonales de un $18$ - gono convexo están coloreadas en $5$ colores diferentes, cada color aparece en un número igual de diagonales. Las diagonales de un color están numeradas $1, 2,\cdots$ . Se elige aleatoriamente una quinta parte de todas las diagonales. Encuentra el número de posibilidades para las cuales entre las diagonales elegidas existen exactamente $n$ pares de diagonales del mismo color y con índices fijos $i, j$ .