Suponga que dos pirámides regulares con la misma base $ABC$: $P-ABC$ y $Q-ABC$ están circunscritas por la misma esfera. Si el ángulo formado por una de las caras laterales y la base de la pirámide $P-ABC$ es $\frac{\pi}{4}$, encuentre el valor de la tangente del ángulo formado por una de las caras laterales y la base de la pirámide $Q-ABC$.