Se da un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB\neq AC$. Sea $D$ un punto de $BC$ tal que $DA$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $ABC$. Sean $E$ y $F$ los circuncentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$, respectivamente, y sea $M$ el punto medio de $EF$. Demuestra que la línea tangente a la circunferencia circunscrita de $AMD$ a través de $D$ también es tangente a la circunferencia circunscrita de $ABC$.