Sea $k \in \mathbb{N},$ $S_k = \{(a, b) | a, b = 1, 2, \ldots, k \}.$ Dos elementos cualesquiera $(a, b)$ , $(c, d)$ $\in S_k$ se denominan 'no distinguibles' en $S_k$ si $a - c \equiv 0$ o $\pm 1 \pmod{k}$ y $b - d \equiv 0$ o $\pm 1 \pmod{k}$ ; de lo contrario, los llamamos 'distinguibles'. Por ejemplo, $(1, 1)$ y $(2, 5)$ son no distinguibles en $S_5$ . Considerando el subconjunto $A$ de $S_k$ tal que los elementos de $A$ son distinguibles por pares. Sea $r_k$ el número máximo posible de elementos de $A$ .\n(i) Encuentre $r_5$ .\n(ii) Encuentre $r_7$ .\n(iii) Encuentre $r_k$ para $k \in \mathbb{N}$ .