Sean $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).$ Consideramos la función $f:\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \to \mathcal{M}_n(\mathbb{C}),$ definida por $f(Z)=AZ+B\overline{Z},$ $Z \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}),$ donde $\overline{Z}$ es la matriz cuyas entradas son los conjugados de las entradas correspondientes de $Z.$ Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes: $(1)$ la función $f$ es inyectiva; $(2)$ la función $f$ es sobreyectiva; $(3)$ las matrices $A+B$ y $A-B$ son invertibles.