Alphonse y Beryl juegan un juego que involucra $n$ cajas fuertes. Cada caja fuerte se puede abrir con una llave única y cada llave abre una caja fuerte única. Beryl mezcla aleatoriamente las $n$ llaves, y después de colocar una llave dentro de cada caja fuerte, cierra todas las cajas fuertes con su llave maestra. Alphonse entonces selecciona $m$ de las cajas fuertes (donde $m < n$ ), y Beryl usa su llave maestra para abrir solo las cajas fuertes que Alphonse seleccionó. Alphonse recoge todas las llaves dentro de estas $m$ cajas fuertes e intenta usar estas llaves para abrir las otras $n - m$ cajas fuertes. Si puede abrir una caja fuerte con una de las $m$ llaves, puede usar la llave en esa caja fuerte para intentar abrir cualquiera de las cajas fuertes restantes, repitiendo el proceso hasta que Alphonse abra con éxito todas las cajas fuertes, o no pueda abrir más. Sea $P_m(n)$ la probabilidad de que Alphonse pueda eventualmente abrir todas las $n$ cajas fuertes comenzando con su selección inicial de $m$ llaves.\n(a) Demuestre que $P_2(3) = \frac23$ .\n(b) Demuestre que $P_1(n) = \frac1n$ .\n(c) Para todos los enteros $n \geq 2$ , demuestre que $$P_2(n) = \frac2n \cdot P_1(n-1) + \frac{n-2}{n} \cdot P_2(n-1).$$ \n(d) Determine una fórmula para $P_2 (n)$ .