Sean $P_0$ , $P_1$ , $P_2$ tres puntos en la circunferencia de un círculo con radio $1$ , donde $P_1P_2 = t < 2$ . Para cada $i \ge 3$ , define $P_i$ como el centro de la circunferencia circunscrita del $\triangle P_{i-1} P_{i-2} P_{i-3}$ .\n(1) Demuestra que los puntos $P_1, P_5, P_9, P_{13},\cdots$ son colineales.\n(2) Sea $x$ la distancia de $P_1$ a $P_{1001}$ , y sea $y$ la distancia de $P_{1001}$ a $P_{2001}$ . Determina todos los valores de $t$ para los cuales $\sqrt[500]{ \frac xy}$ es un entero.